le système $$(S):\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\ldots+a_{2n}x_n=b_2\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\ldots+a_{3n}x_n=b_3\\ \ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+\ldots+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$$ peut être écrit sous la forme \(AX=B\), où $${{A}}={{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix} }}\qquad {{X}}={{\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix} }}\qquad {{B}}={{\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m\end{pmatrix} }}$$
(Matrice)
Equation différentielle linéaire du premier ordre
Théorème :
Supposons que le système linéaire \((S):AX=B\) possède des solutions dans \(\Bbb R\) et notons \(X_0=\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n\end{pmatrix}\) l'une de ses solutions
Alors un \(n\)-uplet \(X_1\) est solution du système \((S)\) si et seulement si \(X_1-X_0\) est solution du système homogène associé \((H):AX=0_{\Bbb R^m}\)
Autrement dit, toute solution de \((S)\) est la somme d'une solution particulière de \((S)\) plus une solution de son système homogène \((H)\)
Démonstration $$\begin{align}&\text{on pose }X=X_0+Y\text{ et on écrit }Y=X-X_0\\ &\text{puisque }AY=A(X-X_0)=AX-AX_0\text{ et }AX_0=B,\\ &\text{on trouve }AY=0_{\Bbb R^m}\iff AX=B\end{align}$$
Remarque :
Quand le système admet autant d'équations que d'inconnues, ie sa matrice \(A\) est une Matrice carrée, il y a une unique solution si et seulement si \(A\) est inversible et, dans ce cas, on aura $${{X}}={{A^{-1}B}}$$
Soit \(A\in\operatorname{Mat}_{m\times n}(\Bbb R)\) une matrice à \(m\) lignes et \(n\) colonnes, \(X=\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}\)
On considère le système linéaire à \(n\) inconnues et \(m\) équations \(AX=Y\)
1. Si \(m\lt n\), ie le syst linéaire a plus d'inconnues que d'équations, le système linéaire homogène associé \(AX=0_{\Bbb R^m}\) possède une infinité de solutions \(X\in\Bbb R^n\)
2. Si \(n\lt m\), ie le syst linéaire a moins d'inconnues que d'équations, \(\exists Y\in\Bbb R^m\) tq \(AX=Y\) n'a pas de solution dans \(\Bbb R^n\)
3. Si \(n=m\) et \(X=0_{\Bbb R^n}\) est la seule solution du système homogène, alors pour tout \(Y\in\Bbb R^m=\Bbb R^n\), il existe un et un seul \(X\in\Bbb R^n\) tq \(AX=Y\). Si \(0_{\Bbb R^n}\) n'est pas solution du système homogène, il existe \(Y\in\Bbb R^m\) tq le syst linéaire \(AX=Y\) n'a pas de solution dans \(\Bbb R^n\)
Produit matriciel